На фото із Судово-юридичної газети – кульові отвори у паркані господарі перетворили на квіти.
Методика оцінки дальності точки залпового пострілу
на основі фактичного розсіювання снарядів
У ході збройних конфліктів сторони часто звинувачують одна одну в обстрілі мирних територій, наприклад, житлових районів міст, віддалених від військових об'єктів. Такі дії кваліфікуються як військові злочини та регулюються міжнародним гуманітарним правом. Обидві сторони можуть використовувати такі обстріли у своїх пропагандистських цілях.
Тому встановлення істини у таких випадках має критичне значення. Для відповіді на питання, хто здійснив обстріл, потрібно знати два показники точки пострілу: 1) її азимут та 2) дальність.
У разі некерованого снаряда азимут точки пострілу може бути досить точно встановлений за формою та характерними елементами воронки від його влучення [1], за становищем залишку снаряда, що застряг у перешкоді, та за іншими додатковими ознаками.
З оцінкою дальності точки пострілу справа, як правило, значно складніша. У разі одиночного пострілу єдиним способом виконати таку оцінку є аналіз кута нахилу залишку снаряда, що застряг у перешкоді. Однак, по-перше, така можливість є не завжди, а по-друге, цей спосіб може давати значну похибку через велику кількість випадкових і невизначених факторів.
При залповому обстрілі, наприклад, з реактивної системи залпового вогню (РСЗВ), можна оцінити дальність точки пострілу з розсіювання снарядів [2]. Методику такої оцінки представлено нижче.
З теорії та практики артилерійської стрільби відомо, що при залповому пострілі розкид точок влучення снарядів підпорядковується нормальному закону розподілу, внаслідок чого утворюється так званий еліпс розсіювання [2; 3, c. 19; 4, с. 217]. Розміри цього еліпса в артилерії прийнято характеризувати величинами серединних відхилень за дальністю Вд і по фронту (ширині) Вб. На рис. 1 показана ймовірність попадання в комірки еліпса розсіювання, кратні серединним відхиленням Вд і Вб (точніше, в комірки прямокутника, описаного навколо цього еліпса). Наприклад, ймовірність попадання в малий центральний квадрат із чотирьох осередків від D4 до E5 (позначатимемо інтервал осередків як D4:E5) дорівнює 25%.
Для визначення найбільш ймовірної дальності, з якої було зроблено постріл, використовують метод математичної статистики, широко поширений для оцінки невідомого параметра, - метод максимальної правдоподібності . Суть методу полягає в тому, що значення параметра, що шукається, оцінюється шляхом максимізації функції правдоподібності, що відображає закономірності процесу.
Рис. 1. Імовірність (в %) попадання снарядів у комірки прямокутника, описаного навколо еліпса розсіювання. Розміри осередків рівні серединним відхиленням за дальністю Bд і фронтом Bб. На жовтому фоні вказана загальна ймовірність попадання снаряда у відповідну смугу еліпса розсіювання (тобто значення на жовтому фоні в кожній колонці A, B тощо) дорівнюють сумі чисел у всіх осередках цієї колонки, а значення на жовтому фоні в кожному рядку 1, 2 тощо.
У нашому випадку як функція правдоподібності вибирають величину ймовірності P , з якої розкид снарядів може бути саме таким, яким він виявився в результаті обстрілу. При цьому значення функції правдоподібності P визначають як мінімум із п'яти приватних функцій правдоподібності для окремих (« контрольних ») областей еліпса розсіювання:
P = min { P _1; P_2 ; P_3 ; P_4 ; P_5 } (1)
де P _ k - часткова функція правдоподібності для k-тої області еліпса розсіювання як ймовірність того, що в цю область потрапить рівно стільки снарядів, скільки фактично потрапило ( k = 1 ... 5); при цьому:
- перша область ( k = 1) – це малий центральний квадрат D4:E5;
- друга область ( k = 2) – це область поза прямокутника, що описує еліпс;
- третя область ( k = 3) - це шар, що складається з осередків C3: F3, C6: F6, C4: C5 і F4: F5;
- четверта область ( k = 4) - це великий центральний квадрат C3: F6;
- п'ята область ( k = 5) - це шар, що складається з осередків B2: G2, B7: G7, B3: B6 і G3: G6.
Рис. 2. Теоретична ймовірність попадання у різні області еліпса розсіювання, розрахована шляхом підсумовування значень у відповідних осередках з рис. 1 (для області 2 умовно прийнята рівною 0,1% для того, щоб уникнути поділу на нуль у формулі (2)).
Кожну з ймовірностей P_k (де k = 1 ... 5) визначають за таблицею функції розподілу Пірсона ( h ^2) [5, с. 140] при числі ступенів свободи, що дорівнює 1, та значення аргументу [6, с. 628]:
h _ k ^2 = ( m _ k - n*t _ k )^2 / ( n*t _ k* (1 - t _ k )) (2)
де m _ k - Число снарядів (точок прильоту), фактично потрапили в k -ту область еліпса розсіювання; n – загальна кількість снарядів у цій вибірці (підтверджених як точки прильоту); t _ k - теоретична ймовірність попадання в k -ту область еліпса розсіювання (див. рис. 2):
t _1 = 0,25; t _2 = 0,001; t _3 = 0,4224; t _4 = 0,6724; t _5 = 0,2492. Критерій (2) характеризує міру відхилення чисел, що спостерігаються, від теоретичних n*t _ k .
Описаний підхід проілюструємо на прикладі розрахунку функції правдоподібності та оцінки дальності точки пострілу в одному із реальних прикладів. Загальна кількість снарядів у цій вибірці дорівнює 21. Усі вони показані на рис. 3а-3в у вигляді точкової діаграми у базовій системі координат.
На рис. 3а-3в на точкову діаграму прильотів накладено еліпси розсіювання снарядів без гальмівних кілець, побудовані за серединними відхиленнями Вд і Вб з відповідної Таблиці стрільби для трьох різних дальностей точки пострілу: 14,2, 16 та 18 км. Центр еліпса поєднаний з центром розсіювання точок, осі еліпса нахилені згідно з відомим азимутом точки пострілу (-37,5)°.
Рис. 3. Точкова діаграма прильотів снарядів у аналізованій вибірці. Значення по осях координат – за метри. Діаграми відрізняються тільки еліпсами розсіювання, побудованими за стандартними значеннями серединних відхилень Вд і Вб для різних значень дальності точки пострілу: а - 14,2 км ( Вд = 138 м, Вб = 113 м), б - 16 км ( Вд = 127 м, Вб = 132 м), - 18 км ( Вд = 116 м, Вб = 157 м). Нахил осей еліпсів всіх трьох діаграмах однаковий і відповідає азимуту точки пострілу (-37,5)°.
Для еліпса розсіювання, що відповідає дальності точки пострілу 14,2 км (рис. 3 а), в область 1 потрапляє лише 3 точки, тоді як теоретично їх має бути в середньому n*t _1 = 21 * 0,25 = 5,25. Критерій Пірсона (2) у цьому випадку дорівнює:
h _1^2 = (3 - 5,25) ^2 / (5,25 * (1 - 0,25)) = 1,286 (3)
По таблиці функції розподілу Пірсона цьому значенню h ^2 = 1,286 відповідає ймовірність 0,26, тобто. P_1 = 0,26 = 26%. Іншими словами, приблизно в одному випадку з чотирьох малий центральний квадрат еліпса розсіювання може потрапити 3 снаряди з 21.
Дещо правдоподібнішим при дальності 14,2 км є попадання у великий центральний квадрат еліпса розсіювання (область 4) дванадцяти снарядів замість теоретичних n*t _1 = 21 * 0,6724 = 14,12. Критерій Пірсона (2) у цьому випадку дорівнює:
h _4^2 = (12 - 14,12)^2 / (14,12 * (1 - 0,06724)) = 0,972 (4)
і цьому значенню відповідає ймовірність 0,32, тобто, P_4 = 0,32 = 32%.
Значення частковіих функцій правдоподібності всім областей еліпса розсіювання, що відповідає дальності 14,2 км, такі: P _1 = 26%, P _2 = 65%, P _3 = 97%, P _4 = 32%, P _5 = 91%. Найменше з цих значень (26%) є значенням підсумкової функції правдоподібності, тобто. для дальності D = 14,2 км значення функції правдоподібності дорівнює 26 відсотків: P = 26%.
У разі еліпса розсіювання, що відповідає дальності 16 км (рис. 3 по центру), до малого центрального квадрата (область 1) потрапляє 4 точки, що дуже близько до теоретичного значення 5,25 і відповідає ймовірності P _1 = 53%, а у великій центральний квадрат (область 4) попадає 13 точок, що відповідає ще більшій ймовірності P _4 = 60%. У цілому нині підсумкове значення функції правдоподібності для дальності D = 16 км приблизно удвічі більше, ніж 14,2 км, і становить P = 53%.
Для еліпса розсіювання, що відповідає дальності 18 км (рис. 3 праворуч), до малого центрального квадрата потрапляє 5 точок, що практично збігається з теоретичним значенням 5,25 і тому дуже правдоподібно (ймовірність P _1 = 90%). Однак у двох інших контрольних областях еліпса приватні функції правдоподібності дуже малі. Так, за межі описуючого прямокутника (область 2) випадає 1 точка (ймовірність такої події P _2 = 0%), а в область 5 потрапляють всього 2 точки замість 5,23 (ймовірність P _5 = 10%). Тому значення підсумкової функції правдоподібності для дальності D = 18 км. дуже мало і становить 0 відсотків: P = 0%.
Подібні розрахунки виконані всім значень дальності точки пострілу з кроком з відповідної Таблиці стрільби. Результати цих розрахунків показано на рис. 4 (чорні точки, з'єднані тонкою лінією).
Щоб унеможливити чутливість результатів до положення точок на кордонах між осередками еліпса розсіювання, застосовують двоетапне усереднення: 1) по дальності і 2) по азимуту.
Усереднення дальності виконують по п'яти найближчим значенням дальності з Таблиці стрільби, тобто, розраховують усереднену за дальністю функцію правдоподібності P _пор. Приклад графіка усередненої дальності функції правдоподібності наведено на рис. 4.
Рис. 4. Приклад графіків функції правдоподібності та її величини,
усередненої по дальності (азимут точки пострілу (-37,5)).
Усереднення по азимуту виконують в діапазоні ±5° щодо найбільш ймовірного значення азимуту. З цією метою для кожної дальності Di з Таблиці стрільби усереднюють значення, розраховані при семи різних азимутах у вказаному діапазоні.
Отримання узагальненої за дальністю та азимутом функції правдоподібності ілюструє рис. 5 (для спрощення візуального сприйняття на цьому рисунку показані графіки усередненої по дальності функції правдоподібності лише для трьох, а не для всіх семи значень азимуту).
Рис. 5. Ілюстрація до визначення функції правдоподібності, узагальненої за дальністю
та азимутом. Лініями без маркерів показані графіки усередненої по дальності
функції правдоподібності для конкретних значень азимуту точки пострілу (написи у кривих). Максимуму узагальненої функції правдоподібності відповідає найімовірніша дальність точки пострілу (у цьому прикладі це – 15,3 км).
Максимум графіка узагальненої функції правдоподібності відповідає найбільш ймовірній дальності точки пострілу (у прикладі, показаному на рис. 5, максимум узагальненої функції правдоподібності становить 38% і відповідає дальності точки пострілу 15,3 км).
Отриману узагальнену функцію правдоподібності нормували щодо її максимального значення для того, щоб відволіктися від чисельних величин ймовірності (важливі не абсолютні, а відносні значення, тобто наскільки більш-менш правдоподібне одне значення дальності точки пострілу щодо іншого). У результаті знаходили нормовану функцію правдоподібності :
P _норм( D _ j ) = P _об( D _ j ) / [ P _об]_ max (5)
Відповідність узагальненої та нормованої функції правдоподібності пояснює рис. 6. Саме нормовану функцію правдоподібності пропонується використовувати для оцінки найімовірнішої дальності точки пострілу.
Рис. 6. Пояснення до визначення нормованої функції правдоподібності.
Бібліографічний список
- Appendix J. Crater analysis and reporting. https://www.globalsecurity.org/military/library/policy/army/fm/6-50/Appj.htm
- Robert S. Yuill. The Standard Deviational Ellipse. Updated Tool for Spatial Description. Geografiska Annaler. Series B, Human Geography, Vol. 53, No. 1 (1971), p. 28-39. http://www.jstor.org/stable/490885
- Орлов А. Р. Основи устрою функціонування снарядів реактивних систем залпового вогню: Навч. допомога. Тула: Вид-во Тул. держ. ун-ту, 2002. - 156 с.
- Столбошинський А. П. Курс артилерії. Книга 8. Теорія ймовірностей. Розсіювання під час стрільби. М.: Військове вид-во Мін. Озброєння. Сил Спілки РСР, 1949. - 282 с.
- Більшов Л. Н., Смирнов Н. В. Таблиці математичної статистики. М.: Наука, 1983. – 416 с.
- Хальд А. Математична статистика з технічними програмами. М.: Вид-во іноземної літератури, 1956. - 664 з.