Методика оценки дальности точки залпового выстрела

На фото из Судебно-юридической газеты – пулевые отверстия в заборе хозяева превратили в цветы.

Методика оценки дальности точки залпового выстрела
на основе фактического рассеивания снарядов

В ходе вооруженных конфликтов стороны часто обвиняют друг друга в обстрелах мирных территорий, например, жилых районов городов, удаленных от военных объектов. Такие действия квалифицируются как военные преступления и регулируются международным гуманитарным правом. Обе стороны могут использовать такие обстрелы в своих пропагандистских целях. 

Поэтому установление истины в таких случаях имеет критическое значение. Для ответа на вопрос, кто осуществил обстрел, нужно знать два показателя точки выстрела: 1) ее азимут и 2) дальность. 

В случае неуправляемого снаряда азимут точки выстрела может быть достаточно точно установлен по форме и характерным элементам воронки от его попадания [1], по положению остатка снаряда, застрявшего в преграде, и по ряду других дополнительных признаков. 

С оценкой дальности точки выстрела дело обстоит, как правило, значительно сложнее. В случае одиночного выстрела единственным способом выполнить такую оценку является анализ угла наклона остатка снаряда, застрявшего в преграде. Однако, во-первых, такая возможность есть не всегда, а во-вторых, этот способ может давать значительную погрешность из-за большого числа случайных и неопределенных факторов. 

При залповом обстреле, например, из реактивной системы залпового огня (РСЗО), возможно оценить дальность точки выстрела по рассеиванию снарядов [2]. Методика такой оценки представлена ниже.

Из теории и практики артиллерийской стрельбы известно, что при залповом выстреле разброс точек попадания снарядов подчиняется нормальному закону распределения, в результате чего образуется так называемый «эллипс рассеивания» [2; 3, c. 19; 4, с. 217]. Размеры этого эллипса в артиллерии принято характеризовать величинами срединных отклонений по дальности Вд и по фронту (ширине) Вб. На рис. 1 показана вероятность попадания в ячейки эллипса рассеивания, кратные срединным отклонениям Вд и Вб (точнее, в ячейки прямоугольника, описанного вокруг этого эллипса). Например, вероятность попадания в малый центральный квадрат из четырех ячеек от D4 до E5 (будем обозначать интервал ячеек как D4:E5) равна 25%.

Для определения наиболее вероятной дальности, с которой был произведен выстрел, используют метод математической статистики, широко распространенный для оценки неизвестного параметра,- метод максимального правдоподобия. Суть метода состоит в том, что искомое значение параметра оценивается путем максимизации функции правдоподобия, отражающей закономерности процесса.

 
Рис. 1. Вероятность (в %) попадания снарядов в ячейки прямоугольника, описанного вокруг эллипса рассеивания. Размеры ячеек равны срединным отклонениям по дальности B_д и по фронту В_б. На желтом фоне указана общая вероятность попадания снаряда в соответствующую полосу эллипса рассеивания (т.е. значения на желтом фоне в каждой колонке A, B и т.д. равны сумме чисел во всех ячейках этой колонки, а значения на желтом фоне в каждой строке 1, 2 и т.д. равны сумме чисел во всех ячейках этой строки).

В нашем случае в качестве функции правдоподобия выбирают величину вероятности P, с которой разброс снарядов может быть именно таким, каким он оказался в результате данного обстрела. При этом, значение функции правдоподобия P определяют как минимум из пяти частных функций правдоподобия для отдельных («контрольных») областей эллипса рассеивания:

P = min{P_1; P_2; P_3; P_4; P_5}         (1)

где  P_k – частная функция правдоподобия для k-той области эллипса рассеивания как вероятность того, что в эту область попадет ровно столько снарядов, сколько фактически попало (k = 1...5); при этом:
- первая область (k = 1) – это малый центральный квадрат D4:E5;
- вторая область (k = 2) – это область за пределами прямоугольника, описывающего эллипс;
- третья область (k = 3) – это слой, состоящий из ячеек C3:F3, C6:F6, C4:C5 и F4:F5;
- четвертая область (k = 4) – это большой центральный квадрат C3:F6;
- пятая область (k = 5) – это слой, состоящий из ячеек B2:G2, B7:G7, B3:B6 и G3:G6.

Рис. 2. Теоретическая вероятность попадания в разные области эллипса рассеивания, рассчитанная путем суммирования значений в соответствующих ячейках из рис. 1 (для области 2 условно принята равной 0,1% с тем, чтобы избежать деления на ноль в формуле (2)). 

Каждую из вероятностей  P_k (где k = 1...5) определяют по таблице функции распределения Пирсона (h^2) [5, с. 140] при числе степеней свободы, равном 1, и значении аргумента [6, с. 628]:

h_k^2 = (m_k - n*t_k)^2 / (n*t_k*(1 - t_k))  (2)

где  m_k – число снарядов (точек прилета), фактически попавших в k-тую область эллипса рассеивания; n – общее число снарядов в данной выборке (подтвержденных как точки прилета); t_k - теоретическая вероятность попадания в k-тую область эллипса рассеивания (см. рис. 2):
t_1 = 0,25; t_2 = 0,001; t_3 = 0,4224; t_4 = 0,6724; t_5 = 0,2492. Критерий (2) характеризует меру отклонения наблюдаемых чисел  от теоретических n*t_k. 

Описанный подход проиллюстрируем на примере расчета функции правдоподобия и оценки дальности точки выстрела в одном из реальных примеров. Общее число снарядов в этой выборке равно 21. Все они показаны на рис. 3а-3в в виде точечной диаграммы в базовой системе координат.

На рис. 3а-3в на точечную диаграмму прилетов наложены эллипсы рассеивания снарядов без тормозных колец, построенные по срединным отклонениям Вд и Вб из соответствующей Таблицы стрельбы для трех разных дальностей точки выстрела: 14,2, 16 и 18 км. Центр эллипса совмещен с центром рассеивания точек, оси эллипса наклонены согласно известному азимуту точки выстрела (-37,5)°.

Рис. 3. Точечная диаграмма прилетов снарядов в анализируемой выборке. Значения по осям координат – в метрах. Диаграммы отличаются только эллипсами рассеивания, построенными по стандартным значениям срединных отклонений Вд и Вб для разных значений дальности точки выстрела: а – 14,2 км (Вд = 138 м, Вб  = 113 м), б - 16 км (Вд = 127 м, Вб  = 132 м), в – 18 км (Вд = 116 м, Вб  = 157 м). Наклон осей эллипсов на всех трех диаграммах одинаков и соответствует азимуту точки выстрела (-37,5)°.

Для эллипса рассеивания, отвечающего дальности точки выстрела 14,2 км (рис. 3 а), в область 1 попадает всего 3 точки, тогда как теоретически их должно быть в среднем n*t_1 = 21 * 0,25 = 5,25. Критерий Пирсона (2) в этом случае равен:

h_1^2 = (3 - 5,25)^2 / (5,25*(1 - 0,25)) = 1,286     (3) 

По таблице функции распределения Пирсона этому значению h^2 = 1,286 соответствует вероятность 0,26, т.е. P_1 = 0,26 = 26%. Другими словами, примерно в одном случае из четырех в малый центральный квадрат эллипса рассеивания может попасть 3 снаряда из 21. 

Несколько более правдоподобным при дальности 14,2 км является попадание в большой центральный квадрат эллипса рассеивания (область 4) двенадцати снарядов вместо теоретических n*t_1 = 21 * 0,6724 = 14,12. Критерий Пирсона (2) в этом случае равен:

h_4^2 = (12 - 14,12)^2 / (14,12*(1 - 0,06724)) = 0,972     (4)

и этому значению соответствует вероятность 0,32, т.е. P_4 = 0,32 = 32%. 

Значения частных функций правдоподобия  для всех областей эллипса рассеивания, отвечающего дальности 14,2 км, таковы:P_1 = 26%, P_2 = 65%, P_3 = 97%, P_4 = 32%, P_5 = 91%.  Наименьшее из этих значений (26%) и является значением итоговой функции правдоподобия, т.е. для дальности D = 14,2 км значение функции правдоподобия равно 26 процентов: P = 26%. 

В случае эллипса рассеивания, отвечающего дальности 16 км (рис. 3 по центру), в малый центральный квадрат (область 1) попадает 4 точки, что весьма близко к теоретическому значению 5,25 и соответствует вероятности P_1 = 53%, а в большой центральный квадрат (область 4) попадает 13 точек, что соответствует еще большей вероятности P_4 = 60%. В целом итоговое значение функции правдоподобия для дальности D = 16 км примерно в два раза больше, чем для 14,2 км, и составляет P = 53%. 

Для эллипса рассеивания, отвечающего дальности 18 км (рис. 3 справа), в малый центральный квадрат попадает 5 точек, что практически совпадает с теоретическим значением 5,25 и поэтому весьма правдоподобно (вероятность P_1 = 90%). Однако в двух других контрольных областях эллипса частные функции правдоподобия очень малы. Так, за пределы описывающего прямоугольника (область 2) выпадает 1 точка, (вероятность такого события P_2 = 0%), а в область 5 попадают всего 2 точки вместо 5,23 (вероятность P_5 = 10%). Поэтому значение итоговой функции правдоподобия для дальности D = 18 км очень мало и составляет 0 процентов: P = 0%.  

Подобные расчеты выполнены для всех значений дальности точки выстрела с шагом  из соответствующей Таблицы стрельбы. Результаты этих расчетов показаны на рис. 4 (черные точки, соединенные тонкой линией).

Чтобы исключить чувствительность результатов к положению точек на границах между ячейками эллипса рассеивания, применяют двухэтапное усреднение: 1) по дальности и 2) по азимуту.

Усреднение по дальности выполняют по пяти ближайшим значениям дальности из Таблицы стрельбы, т.е. рассчитывают усредненную по дальности функцию правдоподобия P_ср. Пример графика усредненной по дальности функции правдоподобия  приведен на рис. 4.

Рис. 4. Пример графиков функции правдоподобия и ее величины,
усредненной по дальности (азимут точки выстрела (-37,5)°).

Усреднение по азимуту выполняют в диапазоне ±5° относительно наиболее вероятного значения азимута. С этой целью для каждой дальности D_i из Таблицы стрельбы усредняют значения , рассчитанные при семи разных азимутах в указанном диапазоне.

Получение обобщенной по дальности и азимуту функции правдоподобия  иллюстрирует
рис. 5 (для упрощения визуального восприятия на этом рисунке показаны графики усредненной по дальности функции правдоподобия только для трех, а не для всех семи значений азимута).

Рис. 5. Иллюстрация к определению функции правдоподобия , обобщенной по дальности
и азимуту. Линиями без маркеров показаны графики усредненной по дальности
функции правдоподобия для конкретных значений азимута точки выстрела (надписи у кривых). Максимуму обобщенной функции правдоподобия отвечает наиболее вероятная дальность точки выстрела (в данном примере это – 15,3 км).

Максимум графика обобщенной функции правдоподобия соответствует наиболее вероятной дальности точки выстрела (в примере, показанном на рис. 5, максимум обобщенной функции правдоподобия составляет 38% и соответствует дальности точки выстрела 15,3 км).

Полученную обобщенную функцию правдоподобия нормировали относительно ее максимального значения для того, чтобы отвлечься от численных величин вероятности (важны не абсолютные, а относительные значения, т.е. насколько более или менее правдоподобно одно значение дальности точки выстрела относительно другого). В итоге находили нормированную функцию правдоподобия:

P_норм(D_j) = P_об(D_j) / [P_об]_max    (5)

Соответствие обобщенной и нормированной функции правдоподобия поясняет рис. 6. Именно нормированную функцию правдоподобия предлагается использовать для оценки наиболее вероятной дальности точки выстрела.

Рис. 6. Пояснение к определению нормированной функции правдоподобия.

Библиографический список

1. Appendix J. Crater analysis and reporting. https://www.globalsecurity.org/military/library/policy/army/fm/6-50/Appj.htm
2. Robert S. Yuill. The Standard Deviational Ellipse. An Updated Tool for Spatial Description. Geografiska Annaler. Series B, Human Geography, Vol. 53, No. 1 (1971), p. 28-39. http://www.jstor.org/stable/490885
3. Орлов А. Р. Основы устройства функционирования снарядов реактивных систем залпового огня: Учеб. пособие. Тула: Изд-во Тул. гос. ун-та, 2002. – 156 с.
4. Столбошинский А. П. Курс артиллерии. Книга 8. Теория вероятностей. Рассеивание при стрельбе. М.: Военное изд-во Мин. Вооруж. Сил Союза ССР, 1949. – 282 с.
5. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. - 416 с.
6. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. – 664 с.